Ecuaciones de Sintonía para Controladores PID usando la Minimización del Error                               Portnoy 

Información Tecnológica – Vol. 30 Nº 1 – 2019           49 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ecuaciones de Sintonía para Controladores PID usando la 
Minimización del Error y de la Varianza de la Señal del 
Controlador como la Función Objetivo 
 
Ivan D. Portnoy1, Arnaldo Verdeza1,2, Yuhan A. Lenis1,3 y Marco E. Sanjuán1. 
(1) Facultad de Ingeniería, Dpto. de Ingeniería Mecánica, Universidad del Norte, Barranquilla-Colombia. 
(e-mail: iportnoy@uninorte.edu.co) 
(2) Facultad de Ingeniería, Dpto. de Ingeniería Industrial, Universidad Simón Bolívar, Barranquilla-Colombia. 
(e-mail: averdeza@unisimonbolivar.edu.co) 
(3) Facultad de Ingeniería, Dpto. de Mecánica, Institución Universitaria Pascual Bravo, Medellín-Colombia 
(e-mail: yuhan.lenis@pascualbravo.edu.co) 
 
Recibido May. 10, 2018; Aceptado Jul. 12, 2018; Versión final Ago. 25, 2018, Publicado Feb. 2019 
 
 
Resumen 
 
A partir de un modelo paramétrico para procesos de primer orden más tiempo muerto, se desarrollan 
ecuaciones de sintonía para controladores PID. Se usa como criterio de optimización la minimización de una 
función objetivo, compuesta por una combinación de la integral del valor absoluto del error (IAE) y la varianza 
de la señal del controlador. Se obtienen dos conjuntos de ecuaciones de sintonía, uno para 0.1<t0/τ<1.5 y otro 
para 1.5<t0/τ<5.0. Ambos conjuntos de ecuaciones de sintonía se evalúan con procesos de referencia, y sus 
resultados se comparan con las sintonías de mínimo IAE, integral cuadrada del error (ISE), integral cuadrada 
del error por el tiempo (ISTE), por control de modelo interno (IMC) y Lambda (λ). A diferencia de las ecuaciones 
tradicionales, las propuestas en este trabajo consideran la respuesta de la variable controlada y la variabilidad 
en la señal que se envía a los actuadores. 
 
Palaras clave: PID; sintonía; varianza; IAE; procesos de primer orden; FOPDT 

 
Tuning Equations for PID Controllers using Minimization of 
Error and of Controller Signal Variance as the Objective 
Function 
 
Abstract 
 
New tuning equations for PID controllers based on first-order-plus-dead-time process parameters are 
developed in this work. The optimization criterion is the minimization of a target function composed by a 
combination of integral-of-the-absolute-error (IAE) and the controller signal variance, which considers not only 
the controlled variable response but also the actuators safety. Two sets of tuning equations are obtained, one 
for 0.1<t0/τ<1.5 and another one for 1.5<t0/τ<5.0. Both tuning equation sets are assessed with benchmark 

processes and their performances are compared with the tuning formulas for Minimum IAE, integral of the 
squared error (ISTE), internal model control (IMC) and λ tuning. Unlike traditional tuning equations, those 

proposed in this work consider not only the controlled variable response, but also favors responses with low 
variability of signals to the actuators. 
 
Keywords: PID; tuning equations; signal variance; IAE; first order processes; FOPDT 
  

Información Tecnológica 
Vol. 30(1), 49-62 (2019) 
http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642019000100049 
 

mailto:averdeza@unisimonbolivar.edu.co


Ecuaciones de Sintonía para Controladores PID usando la Minimización del Error                               Portnoy 

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INTRODUCCIÓN 
 

En 1940 se introdujo el primer controlador PID al mercado, el Fulscope modelo 100. La sintonización de dichos 
controladores se realizaba a prueba y error, porque no existía un método sistemático para sintonizarlos. 
Fueron John Ziegler y Nathaniel Nichols, ingenieros de Taylor, en 1942 los primeros en abordar el problema 
de sintonización (Alfaro 2005; Smith y Corripio 2005). Considerando que una buena respuesta para el lazo de 
control debe reportar un sobrepaso menor al 25% en la amplitud de la oscilación cuando se produce una 
alteración o cambio en la referencia de la variable controlada o “setpoint” (Alfaro 2005; Valério y Da Costa 
2006), con este criterio se desarrollaron dos grupos de ecuaciones de sintonía, uno basado en la ganancia 
del controlador y el período de oscilación, y otro basado en una caracterización del proceso paso a paso, para 
aproximarlo a un sistema FOPDT. La dinámica de muchos procesos reales puede ajustarse bien a una función 
de transferencia FOPDT, por eso la sintonización Ziegler-Nichols, también conocida como sintonía QDR, ha 
sido ampliamente utilizada. Debido a la falta de singularidad de la sintonía QDR, Paul W. Murril y Cecil L. 
Smith desarrollaron ecuaciones de sintonía particulares a cada proceso, utilizando los parámetros de un 
proceso de FOPDT y minimizando el IAE como su función objetivo (Padma et al. 2004; Ramasamy y 
Sundaramoorthy 2008). Otro conjunto de ecuaciones de sintonía ampliamente utilizado fue desarrollado por 
Dahlin, que favorece las respuestas amortiguadas (con sobrepaso del 5%) o sobre amortiguadas, 
denominadas sintonías λ y λ’ respectivamente, usando control de modelo interno (IMC) (Campi et al. 2002). 

En esta línea se destaca el trabajo de Lee et al. (2014).  
 
De manera más general en los trabajos de O'Dwyer (2000), se brinda una completa revisión de las distintas 
ecuaciones de sintonía desarrolladas para los controladores Pi (O’Dwyer 2000a) y PID (O’Dwyer 2000b) y 
Tan at al. (2006), quienes evalúan la robustez de algunas de las ecuaciones de sintonía más usadas en la 
industria. Además se han desarrollado nuevos enfoques para la sintonía de controladores PID, como el uso 
de algoritmos genéticos para la obtención de los parámetros de sintonía (Shen 2002), o como Özdemir et al. 
(2015), quienes proponen el uso algoritmos metahurísticos, mezclando la optimización de enjambre y forraje 
bacteriano, usando como indicadores de rendimiento el IAE, la integral del cuadrado del error (ISE), integral 
del valor absoluto del error por el tiempo (ITAE) e integral del cuadrado del error por el tiempo (ITSE). Otro 
ejemplo es el trabajo de Chaib et al. (2017), que utiliza un atgoritmo de muercielago, inspirado en la 
ecolocalización, obtimizando IAE, ISE, ITAE e ITSE. Sin embargo, el diseño de ecuaciones de sintonía, dada 
su versatilidad y generalización, representan una opción para incluir la optimización de parametros 
específicos, ya que a través de este método, se pueden desarrollar ecuaciones orientadas a optimizar la 
respuesta del controlador acorde a las necesidades del proceso. Tal es el caso del trabajo de Klán y Gorez 
(2008) para controladores PI, que se enfoca en minimizar las variaciones en la señal de salida del controlador, 
con miras a la preservación de los actuadores mediante acciones de control suaves. Otro ejemplo es el 
realizado por Verdeza et al. (2016), quienes presentan un conjunto de ecuaciones de sintonía con aplicabilidad 
al control PID de fotobiorreactores, optimizando IAE y la varianza tanto de la señal de salida del controlador, 
como la de la variable controlada y el trabajo de Duarte y Amador (2013), quienes se enfocan en ecuaciones 
de sintonía para PID implementados en intercambiadores de calor. 
 

En este trabajo se muestra el desarrollo de nuevas ecuaciones de sintonía para controladores PID basados 
en la caracterización de un proceso FOPDT. A diferencia de las ecuaciones de sintonía tradicionales, las 
propuestas en este trabajo consideran, como función objetivo a minimizar, la suma ponderada del IAE y la 
varianza de la señal del controlador, con el objetivo de propiciar una respuesta rápida del controlador, 
minimizar las desviaciones de la variable controlada y la variabilidad de la señal de salida del controlador. En 
consecuencia, las ecuaciones propuestas consideran no sólo la respuesta de la variable controlada, sino que 
también favorecen respuestas con baja variabilidad en las señales que se envían a los actuadores, buscando 
mantenerlos en condiciones de operación seguras y evitar el estrés por oscilaciones. 
 

METODOLOGÍA 
 

Con el fin de obtener las ecuaciones de sintonía para controladores PID, basadas en parámetros de un 
proceso FOPDT y la minimización de una función objetivo que involucra el IAE y la varianza de la señal de 
salida del controlador, se proponen dos diseños experimentales (con réplica) para evaluar un amplio rango 
de la relación t0/τ, donde t0 es el tiempo muerto y τ la constante de tiempo. Para ambos experimentos se 
consideran cuatro factores; los tres parámetros del proceso FOPDT: ganancia Kp, constante de tiempo τ, la 
relación t0/τ, y un cuarto parámetro Г, que se utiliza como factor de peso para la varianza de la señal del 

controlador. En la figura 1 se muestra el esquema de control implementado para obtener los parámetros de 
sintonía del controlador PID (ganancia Kc, tiempo integral Ti y derivativo Td), hasta encontrar los valores 
óptimos, para cada condición experimental Kp, τ, t0 y Г. Para ello se usa la función fmincon de MatLab® la 

cual permite encontrar el mínimo de una función no lineal de varias variables, incorporando como valores 
iniciales los parámetros Kc, Ti y Td, obtenidos a través de la sintonía IAE y λ’ (respectivamente en cada réplica 
experimental) y definiendo los límites de la simulación para cada uno de dichos parámetros, de forma que 
excedan los valores extremos considerados por las técnicas tradicionales de sintonía IAE y λ’ (Ramasamy y 



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Sundaramoorthy 2008; Campi et al. 2002; Verdeza et al. 2016). La función objetivo a minimizar es definida en 
la ecuación 1. 
 

VP = ∫|e(t)|dt + Гσ2(m(t)) (1) 

 
Todas las simulaciones se evalúan para una misma cantidad de unidades de tiempo (100 unidades de tiempo 
en total, 50 unidades para cambios de referencia en la variable controlada y 50 para perturbaciones) y un 
paso a paso fijo de 0.001 unidades de tiempo. La elección del tiempo de simulación se basa en el hecho de 
que es lo suficientemente amplio como para que el proceso (en lazo cerrado) alcance el estado estable en la 
región de muestreo evaluada experimentalmente. El IAE y la varianza de m(t), para cada condición 
experimental, se calculan utilizando las señales (del sensor y el actuador) acumuladas durante la simulación. 
Para ambos diseños de experimentos se seleccionó una región de muestreo representativa de los procesos 
más usados en la industria, con una relación de t0/τ entre 0.10 y 5.00 (Smith y Corripio 2005; O’Dwyer 2009). 
Una vez ejecutada la función de optimización (minimizando VP, ecuación 1), los parámetros de sintonía 
obtenidos para cada prueba son los resultados de los diseños de experimentos. 
 

 
Fig. 1: Esquema de control simulado 

 
El análisis de los resultados experimentales sólo considera los efectos de primer orden y se utilizó el software 
Statgraphics Centurion XVI® para el tratamiento de los datos. Las ecuaciones de sintonía obtenidas se 
comparan con las ecuaciones de sintonía mínimo IAE, como una referencia de control agresiva, y las 
ecuaciones de sintonía λ’ como una referencia de control lenta o pasiva (Poe y Mokhatab 2017; Smith y 
Corripio 2005). Además, se comparan con las ecuaciones de sintonía mínimo ISE, ISTE (Tan et al. 2006), y 
por control de modelo interno (IMC) propuestas por Lee at al. (2014), que consideran la varianza de la señal 
de salida del controlador como punto de optimización. En las tablas 1 y 2 se muestran las ecuaciones 
implementadas con sus respectivos coeficientes. 
 

Tabla 1: Ecuaciones de sintonía para perturbaciones mínimo IAE, ISE e ISTE. 
 

Ecuaciones de sintonía 

Coeficientes mínimo IAE 
(Smith y Corripio 2005) 

Coeficientes mínimo ISE 
(Tan et al. 2006) 

Coeficientes mínimo ISTE 
(Tan et al. 2006) 

a1 a2 a1 a2 a1 a2 

Kc =
a1

Kp
(

t0

τ
)

a2

 1.435 -0.921 1.474 -0.970 1.468 -0.970 

Ti =
τ

a1
(

t0

τ
)

a2

 0.878 0.749 1.115 -0.753 0.942 -0.725 

Td =  a1τ (
t0

τ
)

a2

 0.482 1.137 0.550 0.948 0.443 0.939 



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Tabla 2: Ecuaciones de sintonía para cambio de referencia mínimo IAE, ISE, ISTE, IMC y λ’. 
 

Ecuaciones de 
sintonía 

Coeficientes mínimo IAE 
(Smith y Corripio 2005) 

Coeficientes mínimo ISE 
(Tan et al. 2006) 

Coeficientes mínimo ISTE 
(Tan et al. 2006) 

a1 a2 a1 a2 a1 a2 

Kc =
a1

Kp
(

t0

τ
)

a2

 1.086 -0.869 1.048 -0.897 1.042 -0.897 

Ti =
τ

a1 − a2 (
t0

τ
)
 

0.740 0.130 1.195 0.368 0.987 0.238 

Td =  a1τ (
t0

τ
)

a2

 0.348 0.914 0.489 0.888 0.385 0.906 

Ecuaciones de sintonía IMC (Lee et al. 2014). Parámetro de ajuste 

Kc =
τ

Kp(λ + t0)
 

λ = 0.6 y 1.0 Ti = min (τ, 5λ) 

Td = max (
t0 − λ

2
, 0) 

Ecuaciones de sintonía λ’ (Smith y Corripio 2005) Parámetro de ajuste 

Kc =
τ

Kp(λ′ + t0)
 

λ′ = 1.2t0 Ti = τ 

Td =
t0

2
 

 
Usualmente la variación en la señal de salida del controlador es grande durante la parte inicial del transitorio 
y luego, se acerca a la referencia y en ocasiones la sobrepasa, mostrando un comportamiento oscilatorio. De 
hecho, incluso después de mucho tiempo, la variable controlada no es absolutamente constante, dado que el 
control por retroalimentación responde cambios continuos en el proceso, debido a las perturbaciones y ruido 
de medición. En consecuencia, existen diversas formas de caracterizar la actividad del sistema de control 
después de una perturbación o cambio en la referencia de la variable controlada (Klan y Gorez 2008; Smith y 
Corripio 2005). En nuestro caso se evalúa el rendimiento del controlador de forma cuantitativa, mediante el 
IAE y la varianza de la señal de salida del controlador. 
 
RESULTADOS 
 
Como se menciona en la sección anterior, se desarrollan dos diseños experimentales con replica, usando 
deferentes semillas (sintonías mínimo IAE y λ’), considerando cuatro factores; la ganancia Kp, constante de 
tiempo τ, la relación t0/τ, y el factor de peso Г. Una vez realizado el análisis de varianza (ANOVA), no se 

encontró diferencia significativa entre ambas réplicas de los diseños de experimentos. A continuación se 
presenta el análisis de los diseños de experimentos realizados y las ecuaciones obtenidas. 
 
Primer diseño experimental 
 
El primer diseño experimental, considera un multifactorial 54. Los niveles definidos para cada factor se 
muestran en la tabla 3. Se encontró que para la ganancia del controlador Kc, resultaron significativos los 
factores Kp, Г y t0/τ. Para el tiempo integral Ti, resultaron significativos Kp, Г, τ y t0/τ. Y para el tiempo derivativo 
Td, resultaron significativos τ y t0/τ. Con los datos experimentales se obtuvieron modelos de regresión para 
cada parámetro del controlador PID, como se muestra en la tabla 4 con su respectivo ajuste R2. Este grupo 
de ecuaciones sólo es funcional para el intervalo entre 0.1<t0/τ<1.5. 



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Tabla 3: Factores y niveles del primer diseño experimental. 
 

Nivel Kp τ t0/τ Г 

Bajo 0.500 0.500 0.100 1.000 

Medio-Bajo 1.250 1.125 0.450 25.750 

Medio 2.000 1.750 0.80 50.500 

Medio-Alto 2.750 2.375 1.150 75.250 

Alto 3.500 3.000 1.500 100.000 

 
Tabla 4: Ecuaciones de regresión obtenidas a partir del primer diseño de experimentos para controladores PID. 

 

Ecuación 
Coeficientes 

a1 a2 a3 a4 R2 

Kc =
a1

Kp
Гa2 (

t0

τ
)

a3

 0.9952 -0.0848 -0.1956 - 0.898 

Ti =  a1τa2Гa3 (
t0

τ
)

a4

 1.5806 0.9980 -0.0180 0.2285 0.985 

Td =  a1τa2 (
t0

τ
)

a3

 0.2743 0.9965 1.0861 - 0.971 

 
Segundo diseño experimental 
 
El segundo diseño experimentos fue un multifactorial 34 como se muestra en la tabla 5. Para la ganancia del 
controlador Kc, resultaron significativos los factores Kp y la relación t0/τ. Para el tiempo integral Ti, resultaron 
significativos Kp, la constante de tiempo τ y la relación t0/τ. Y para el tiempo derivativo Td, resultaron 
significativos la constante de tiempo τ, Г y la relación t0/τ. Con los datos experimentales se obtuvieron modelos 

de regresión para cada parámetro del controlador PID, mostrados en la tabla 6 con su respectivo ajuste R2. 
Este grupo de ecuaciones sólo es funcional para el intervalo entre 1.5<t0/τ<5.0. 
 

Tabla 5: Factores y niveles del segundo diseño experimental. 
 

Nivel Kp τ t0/τ Г 

Bajo 0.500 0.500 1.500 100.000 

Medio 2.000 3.000 3.250 50005000.000 

Alto 3.500 5.500 5.000 1.000×108 

 
Tabla 6: Primer conjunto de ecuaciones de regresión a partir del segundo diseño experimental. 

 

Ecuación 
Coeficientes 

a1 a2 a3 a4 R2 

Kc =
a1

Kp
(

t0

τ
)

a2

 0.7211 -0.1845 - - 0.999 

Ti =  a1τa2 (
t0

τ
)

a3

 1.7577 0.8643 0.5021 - 0.978 

Td1 =  a1τa2Гa3 (
t0

τ
)

a4

 0.3997 0.9518 0.0095 0.6409 0.980 

Td2 =  a1τa2 (
t0

τ
)

a3

 0.3144 1.0305 0.6708 - 0.973 

 

Como es de notarse, la correlación para Td se calculó dos veces; primero incluyendo el factor Г y luego sin él. 
Ya que Г fue el factor que resultó con el menor índice de significancia para Td, y luego de obtener la correlación 

excluyendo Г, esta muestra un buen ajuste del estadístico R2. Por tanto si sólo se considera la ecuación Td2, 



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se puede usar Г = 100 y la función objetivo queda definida como se muestra en la ecuación 2. 
 

VP = ∫|e(t)|dt + 100σ2(m(t)) (2) 

 
Finalmente, las ecuaciones de sintonía obtenidas para cada parámetro del controlador PID se muestran en la 
tabla 7 con su respectivo ajuste R2, este conjunto de ecuaciones sólo es funcional para el intervalo entre 
1.5<t0/τ<5.0. 
 

Tabla 7: Ecuaciones obtenidas a partir del segundo diseño de experimentos para controladores PID. 
 

Ecuación 
Coeficientes 

a1 a2 a3 R2 

Kc =
a1

Kp
(

t0

τ
)

a2

 0.7211 -0.1845 - 0.999 

Ti =  a1τa2 (
t0

τ
)

a3

 1.7577 0.8643 0.5021 0.978 

Td =  a1τa2 (
t0

τ
)

a3

 0.3144 1.0305 0.6708 0.973 

 
La evaluación de las ecuaciones obtenidas se realiza bajo dos escenarios o casos de estudio, puesto que se 
desarrollan dos grupos de ecuaciones de sintonía, uno para el intervalo 0.1<t0/τ<1.5 y otro para 1.5<t0/τ<5.0. 
El desempeño de las ecuaciones se compara con las sintonías mínimo IAE, ISE e ISTE, tanto para cambios 
de referencia como para perturbaciones, además se compara con las sintonías IMC; λ’ y la propuesta por Lee 
at al.(2014) Los criterios de desempeño que se usan son el IAE y la varianza de la señal del controlador. 
 
Primer escenario de evaluación 
 
El proceso usado para la evaluar el desempeño del primer conjunto de ecuaciones de sintonía es un reactor 
refrigerado, como se muestra en la figura 2. 

 
Fig. 2: Esquemático reactor refrigerado 

 
El reactor está aislado térmicamente y en su interior tiene lugar una reacción exotérmica A → B, se asume 
una agitación constante y homogénea, la capacidad calorífica Cp y la densidad de reactivos y productos son 
iguales. La tabla 8, muestra un resumen de la información del proceso y los valores en estado estable. La 
modelación se realiza a través de un balance molar del reactivo A, un balance de energía para el reactor y la 
ecuación de velocidad de reacción, resumidas en las ecuaciones 3, 4 y 5 respectivamente. 
 

fcAi(t) − fcA(t) − VrA(t) = V
dcA(t)

dt
 (3) 

  

Reactivo

f [m3/s]
CAi [kmol/m3]
Ti(t) [°C]

Refrigerante

Producto

f [m3/s]
CA [kmol/m3]
T(t) [°C]

Vapor

AT

AC SP



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fρCpTi(t) − UA(T(t) − Tc) − fρCpT(t) − VrA(t)(∆Hr) = VρCv

dT(t)

dt
 (4) 

 

rA(t) = k0e
−

E
RT(t)cA(t) (5) 

 

Tabla 8: Información del proceso y valores en estado estable. 
 

Variable Símbolo/Valor 

Información del proceso 

Reactor 

Volumen del reactor V = 375.48 L 

Área de transferencia de calor A = 3.344 m2 

Energía de activación E = 64709.6 kJ/kmol 

Constante de gases R = 8.314 kJ/kmol·K 

Densidad ρ = 881.02 kg/m3 

Calor especifico a presión constante Cp = 3.684 kJ/kg·K 

Entalpía de reacción ∆Hr = - 27912kJ/kg 

Coeficiente de trasferencia de calor U = 425.87 W/(m2·K) 

Factor Pre-exponencial ko = 1.081e9 1/(m3·kg·s) 

Chaqueta refrigerada con agua 

Volumen de la chaqueta V = 44.17 L 

Calor especifico a presión constante agua Cp = 4.186 kJ/kg·K 

Densidad agua ρ = 999.55 kg/m3 

Valores en estado estable 

Reactor 

Concentración de A, entrada CAi(t) = 9570.76 kmol/m3 

Temperatura de entrada Ti = 79.63 °C 

Flujo fi = 0.4139 L/s 

Concentración de A, salida CA(t) = 3315.73 kmol/m3 

Temperatura de salida A T = 104.02 °C 

Chaqueta refrigerada con agua 

Temperatura del refrigerante, entrada Tc = 26.85 °C 

Flujo del refrigerante fc = 0.6307 L/s 

Temperatura del refrigerante, salida Tco = 61.68 °C 

 
Desempeño ante cambios de referencia: Una vez modelado el proceso y obtenidos los valores de sintonía, 
utilizando Г = 50 y Г = 100, se realiza una prueba variando la referencia de la variable controlada. En este 
caso se varía la concentración desde 3315.73 hasta 3647.30 kmol/m3. El rendimiento de las ecuaciones de 
sintonía se muestra en la tabla 9, donde cada conjunto de ecuaciones es evaluado cuantitativamente mediante 
el IAE y la varianza de la señal del controlador, además, en la figura 3 se muestra la respuesta de la variable 
controlada y la señal del controlador en la figura 4 para las ecuaciones con mejor rendimiento cuantitativo. El 
valor de IAE obtenido con las ecuaciones de sintonía propuestas, usando Г = 50, fue mayor que los obtenidos 

por mínimo IAE, ISE e ISTE. Por otro lado, para Г = 100 el valor de IAE fue mayor que aquel obtenido por 
mínimo IAE, ISE, ISTE y λ’. Sin embargo, este resultado no es una sorpresa, ya que, como se mencionó 
anteriormente, las ecuaciones de sintonía propuestas apuntan no solo a minimizar el IAE, sino también a 
proteger la integridad de los actuadores, al evitar condiciones de operación oscilatoria. Nótese que los valores 
de la varianza de la señal del controlador obtenidos con la sintonía a través de las ecuaciones propuestas 
(para Г = 50 y Г = 100) son los menores, y solo las ecuaciones de sintonización λ’ mostraron un resultado 



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cercano. Por otro lado, con las ecuaciones de sintonía propuestas, la variable controlada se aproxima más 
rápido a la referencia que usando las ecuaciones de sintonía λ’. 

 

 
Fig. 3: Respuesta de la variable controlada ante un cambio de referencia para cada conjunto de ecuaciones. 

 

 
Fig. 4: Señal del controlador ante un cambio de referencia para cada conjunto de ecuaciones. 

 
Tabla 9: Parámetros cuantitativos de desempeño Integral absoluta del error (IAE) la varianza de la señal de salida del 
controlador, para cambios de referencia en el escenario primer de evaluación. 
 

Ecuaciones de Sintonía Kc Ti Td IAE σ2(m(t)) 

IAE 6.570 11.648 1.609 34.477 15.877 

ISE 6.442 7.869 2.294 40.034 18.757 

ISTE 6.405 9.206 1.788 37.597 17.390 

Lee at al. λ = 0.6 5.735 3.000 1.901 164.830 149.403 

Lee at al. λ = 1.0 5.310 5.000 1.701 60.199 28.916 

λ' 2.962 7.760 2.201 45.334 7.832 

Propuesta Г = 100 3.228 9.878 1.142 46.600 7.638 

Propuesta Г = 50 3.363 10.002 1.142 45.292 7.757 

 
Desempeño ante perturbaciones: La evaluación para las ecuaciones ante una perturbación, se realiza 
introduciendo un paso escalón en la concentración de reactivo, entre 9570.76 y 10527.83 kmol/m3. Las 
respuestas obtenidas para la variable controlada ante los diferentes conjuntos de ecuaciones de sintonía se 
muestran en la figura 5, y en la figura 6 se muestran las señales del controlador. Los valores de IAE y varianza 
de la señal del controlador, se muestran en la tabla 10. Nótese que para las ecuaciones de sintonía 

propuestas, usando Г = 50 y Г = 100, se obtuvieron valores para el IAE cercanos a los obtenidos para la 
sintonía realizada con las ecuaciones λ’, por encima de todas las ecuaciones de sintonía restantes, además, 
obtuvieron los menores valores para la varianza en la señal del controlador. 

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0 10 20 30 40 50 60 70 80

C
 (

%
T

O
)

Tiempo

λ' IAE_ref

ISE_ref ISTE_ref

Lee et al. λ = 1.0 Propuesta Г=100

Propuesta Г=50

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69

74

79

84

0 10 20 30 40 50 60 70

m
 (

%
C

O
)

Tiempo

λ' IAE_ref

ISE_ref ISTE_ref

Lee et al. λ = 1.0 Propuesta Г=100

Propuesta Г=50



Ecuaciones de Sintonía para Controladores PID usando la Minimización del Error                               Portnoy 

Información Tecnológica – Vol. 30 Nº 1 – 2019           57 

 
Fig. 5: Respuesta de la variable controlada ante una perturbación para cada conjunto de ecuaciones. 

 

 
Fig. 6: Señal del controlador ante una perturbación para cada conjunto de ecuaciones. 

 
Tabla 10: Parámetros cuantitativos de desempeño Integral absoluta del error (IAE) la varianza de la señal de salida del 
controlador, para perturbaciones en el primer escenario de evaluación. 
 

Ecuaciones de Sintonía Kc Ti Td IAE σ2(m(t)) 

IAE 8.941 5.781 1.963 30.457 46.917 

ISE 9.436 10.666 2.494 31.713 42.712 

ISTE 9.404 5.462 2.019 30.407 50.012 

Lee at al. λ = 0.6 5.735 3.000 1.901 74.587 73.353 

Lee at al. λ = 1.0 5.310 5.000 1.701 44.384 40.776 

λ' 2.962 7.760 2.201 65.329 33.703 

Propuesta Г = 100 3.228 9.878 1.142 74.651 33.612 

Propuesta Г = 50 3.363 10.002 1.142 72.823 33.478 

 
Segundo escenario de evaluación 
 
El proceso usado para evaluar el segundo conjunto de ecuaciones de sintonía es un tanque de mezclado de 
agua fría y caliente, como se ilustra en la figura 7. La variable controlada es la temperatura de salida, mientras 
que la variable manipulada es el flujo de agua fría que ingresa al tanque. Se considera un proceso no lineal y 
con un retraso por fenómenos de trasferencia de calor (que se asocia a un tiempo muerto), tal que la relación 
1.5<t0/τ<5.0 se cumpla. La temperatura de salida en estado estable es T4 = 73.0 °C, el resto de la información 
del proceso y los valores para el estado estable se muestran en la tabla 11. Las ecuaciones que rigen el 
comportamiento dinámico del proceso, se componen de un balance de masa, un balance de energía y un 
retraso por transporte, como se resume en las ecuaciones 6, 7, 8 y 9 respectivamente. 
 
w1(t) + w2(t) − w(t) = 0 (6) 

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0 10 20 30 40 50 60 70 80

C
 (

%
T

O
)

Tiempo

IAE_p λ'

ISE_p ISTE_p

Lee et al. λ = 1.0 Propuesta Г=100

Propuesta Г=50

20

30

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50

60

70

80

0 10 20 30 40 50 60 70

m
 (

%
C

O
)

Tiempo

IAE_p λ' ISE_p

ISTE_p Lee et al. λ = 1.0 Propuesta Г=100

Propuesta Г=50



Ecuaciones de Sintonía para Controladores PID usando la Minimización del Error                               Portnoy 

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w1(t)CpT1(t) + w2(t)CpT2(t) − wCpT3(t) = ρVCv

dT3(t)

dt
 (7) 

 

T4(t) = T3(t − t0(𝑡)) (8) 

 

t0(t) =
LAρ

w(t)
 (9) 

 

 
Fig. 7: Esquemático tanque de mezclado. 

 
Tabla 11: Información del proceso y valores en estado estable. 
 

Información del proceso 

Tanque 

Variable Símbolo/Valor 

Volumen V = 28.32 L 

Tubería de salida 

Longitud L = 37.80 m 

Área trasversal Ac = 1.858e-2 m2 

Válvula (FC-P) 

Flujo máximo fmax = 188.78 L/s 

Constante de tiempo v  = 24 s 

Sensor/Transmisor 

Cero del instrumento PVmin = 37.78 °C 

Span sp =37.78 °C 

Constante de tiempo T  = 30 s 

Flujo de agua 

Calor específico a presión constante Cp = 3.349 kJ/kg·K 

Calor específico a volumen constante Cv = 3.768 kJ/kg·K 

Densidad ρ = 961.12kg/m3 

Valores en estado estable 

Flujo de calor corriente caliente w1 = 1.890 kg/s 

Flujo de calor corriente fría w2 = 1.4452 kg/s 

Temperatura corriente caliente T1 =121.11 °C 

Temperatura corriente fría T2 = 10 °C 

w1 [kg/s]

T1(t) [°C] w2 [kg/s]

T2(t) [°C]

T4(t) [°C]

Corriente 

caliente Corriente fría

TT

TC SP



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Desempeño ante cambios de referencia: Al igual que para el primer conjunto de ecuaciones de sintonía 
propuestas, para el segundo grupo, se realiza una prueba variando la referencia de 73.0 a 71.2 °C y se 
obtienen los valores de sintonía para IAE, ISE, ISTE, λ’ y Lee at al. (2014). El rendimiento de las ecuaciones 
de sintonía se muestra en la tabla 12, donde cada grupo de ecuaciones es evaluado cuantitativamente 
mediante el IAE y la varianza de la señal del controlador. Además, las figuras 8 y 9 muestran la respuesta de 
la variable controlada y señal del controlador para cada conjunto de ecuaciones de sintonía. Nótese que las 
ecuaciones propuestas obtuvieron el mejor desempeño para IAE. La varianza de la señal del controlador 
estuvo por debajo de las sintonías λ' y las propuestas por Lee at al. (2014). 
 

 
Fig. 8: Respuesta de la variable controlada ante un cambio de referencia para cada conjunto de ecuaciones. 

 

 
Fig. 9: Señal del controlador ante un cambio de referencia para cada conjunto de ecuaciones. 

 
Tabla 12: Parámetros cuantitativos de desempeño Integral absoluta del error (IAE) la varianza de la señal de salida 
del controlador, para cambios de referencia en el segundo escenario de evaluación. 
 

Ecuaciones de Sintonía Kc Ti Td IAE σ2(m(t)) 

IAE 0,687 4,592 1,356 27.546 0.6937 

ISE 0,653 4,224 1,878 28.773 0.6999 

ISTE 0,649 4,172 1,494 27.560 0.6976 

Lee at al. λ = 0.6 0,514 2,369 1,741 35.740 0.8151 

Lee at al. λ = 1.0 0,473 2,369 1,541 35.435 0.7990 

λ' 0,268 2,369 2,041 40.106 0.8290 

Propuesta 0.809 4.869 1.102 26.117 0.7225 

 

Desempeño ante perturbaciones: La evaluación para las ecuaciones ante una perturbación se realiza 
introduciendo un paso escalón en el flujo de agua caliente de 1.890 a 1.985 kg/s. Las respuestas obtenidas 
para los diferentes grupos de ecuaciones de sintonía y sus respectivos valores de IAE y varianza de la señal 
del controlador se muestran en la tabla 13 y en las figuras 10 y 11. Con las ecuaciones de sintonía propuestas 
se obtuvo una respuesta más rápida que las obtenidas con las demás ecuaciones de sintonía, alcanzando 

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

C
 (

%
T

O
)

Tiempo

λ' IAE_ref

ISE_ref ISTE_ref

Lee at al. λ = 0.6 Lee et al. λ = 1.0

Propuesta

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53

54

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

m
 (

%
C

O
)

Tiempo

λ' IAE_ref ISE_ref

ISTE_ref Lee at al. λ = 0.6 Lee et al. λ = 1.0

Propuesta



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rápidamente la referencia y logrando estabilizarse con pocas oscilaciones. La varianza de la señal del 
controlador calculada para las ecuaciones propuestas resultó ser el menor valor obtenido, así como también 
el IAE, comparado con el resto de las ecuaciones de sintonías probadas, exhibiendo una respuesta con 
pequeñas oscilaciones, haciendo notable que al usar las ecuaciones propuestas se logra un mejor rendimiento 
tanto para el IAE como para la varianza calculada de la señal del controlador cuando se cumple que 
1.5<t0/τ<5.0. 
 

 
Fig. 10: Respuesta de la variable controlada ante una perturbación para cada conjunto de ecuaciones. 

 

 
Fig. 11: Señal del controlador ante una perturbación para cada conjunto de ecuaciones. 

 
Tabla 13: Parámetros cuantitativos de desempeño Integral absoluta del error (IAE) la varianza de la señal de salida 
del controlador, para perturbaciones en el segundo escenario de evaluación. 
 

Ecuaciones de Sintonía Kc Ti Td IAE σ2(m(t)) 

IAE 0.883 4.056 2.120 28.951 0.8261 

ISE 0.882 1.411 2.183 164.653 6.3972 

ISTE 0.879 3.732 1.750 28.427 0.8292 

Lee at al. λ = 0.6 0,514 2,369 1,741 35.740 0.8151 

Lee at al. λ = 1.0 0,473 2,369 1,541 35.435 0.7990 

λ' 0,268 2,369 2,041 40.106 0.8290 

Propuesta 0.809 4.869 1.102 26.117 0.7225 

 

CONCLUSIONES 
 
Se desarrollaron dos grupos de ecuaciones de sintonía para controladores PID basados en la caracterización 
de procesos FOPDT para 0.1<t0/τ<1.5 y 1.5<t0/τ<5.0. A diferencia de las ecuaciones de sintonía tradicionales, 
las propuestas en este trabajo consideran no solo la respuesta de la variable controlada, sino que además 
favorecen respuestas con baja variabilidad de las señales que se envían a los actuadores, buscando 
condiciones de operación seguras. Las ecuaciones desarrolladas en este trabajo se compararon con seis 

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

C
 (

%
T

O
)

Tiempo

IAE_p λ'

ISTE_p Lee at al. λ = 0.6

Lee et al. λ = 1.0 Propuesta

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

m
 (

%
C

O
)

Tiempo

IAE_p λ'

ISTE_p Lee at al. λ = 0.6

Lee et al. λ = 1.0 Propuesta



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Información Tecnológica – Vol. 30 Nº 1 – 2019           61 

conjuntos de ecuaciones de sintonía tomadas de la bibliografía reciente, implementándolas en dos procesos 
de referencia y evaluando su desempeño con respecto al mínimo IAE y la varianza de la señal de salida del 
controlador. Dichas ecuaciones mostraron un buen rendimiento en procesos con 1.5<t0/τ<5.0, superando las 
ecuaciones de sintonía con las que se comparó, obteniéndose una respuesta rápida con suaves y bajas 
oscilaciones. Sin embargo, para procesos con 0.1<t0/τ<1.5, el ajuste propuesto mostró un comportamiento 
comparable con el ajuste Lambda, es decir, una respuesta no oscilatoria y lenta. 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
Los autores agradecen el apoyo de COLCIENCIAS a través de la Convocatoria Doctorados Nacionales 
727/757, del Fondo nacional de financiamiento para la ciencia, la tecnología e innovación FCTeI del sistema 
general de regalías SGR, Universidad del Norte y Universidad Simón Bolívar Barranquilla-Colombia. 
 
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